仿射变换（Affine Transformation）

什么是仿射变换#

仿射变换 = 线性变换 + 平移。

最简单的形式：$y = wx + b$y=wx+b，其中 $w$w 是线性部分（缩放），$b$b 是平移部分。

严格的线性变换要求 $f(0) = 0$f(0)=0，但加了偏置 $b$b 之后 $f(0) = b \neq 0$f(0)=b=0，所以 nn.Linear 做的其实是仿射变换，不是数学意义上的线性变换。

为什么 AI 里叫"线性层"#

业界约定俗成。PyTorch 的 nn.Linear、TensorFlow 的 Dense 层，做的都是 $y = Wx + b$y=Wx+b（仿射变换），但大家习惯叫"线性层"。知道这个区别即可，不影响使用。

高维情况#

多输入时，仿射变换变成矩阵形式：$\mathbf{y} = W\mathbf{x} + \mathbf{b}$y=Wx+b，其中 $W$W 是权重矩阵，$\mathbf{b}$b 是偏置向量。