中心极限定理

大量独立随机变量的平均值趋向正态分布，无论原始分布是什么形状。这解释了为什么正态分布在自然界和 AI 中无处不在——只要是多个因素叠加的结果，就会趋向钟形曲线。

核心公式

📖 符号说明

前置知识

一句话理解

把很多随机的东西加起来取平均，不管每个东西原来长什么样，平均值的分布都会变成钟形曲线。

设 $X_1, X_2, \ldots, X_N$ 是 $N$ 个独立同分布的随机变量，均值为 $\mu$ ，方差为 $\sigma^2$ 。则当 $N$ 足够大时：

\bar{X}_N = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} X_i \;\xrightarrow{d}\; \mathcal{N}\left(\mu, \frac{\sigma^2}{N}\right)

平均值的分布趋向正态分布，且标准差以 $\frac{1}{\sqrt{N}}$ 的速度缩小。

单个骰子是均匀分布——六面等概率。但取 100 个骰子的平均值，重复 5000 次，直方图就是一条漂亮的钟形曲线，中心在 3.5。

CLT 回答了一个根本问题：为什么正态分布无处不在？

只要一个结果是许多独立小因素叠加的产物，它就趋向正态分布：

NOTE

CLT 的条件 CLT 需要：① 随机变量相互独立；② 每个变量的方差有限。极端的重尾分布（如柯西分布）不满足条件②，不适用 CLT。