点积（Dot Product）#

直觉理解#

两个人分别给 5 部电影打了分，怎么衡量他们口味像不像？最直接的办法：同一部电影你打高分我也打高分，就说明口味一致。把每部电影的分数配对相乘，再加起来——口味越像，这个总和越大。

这个"配对相乘再加总"的操作，就是点积。

公式定义#

代数形式：对应分量相乘，再加起来

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n$a⋅b=i=1∑n​ai​bi​=a1​b1​+a2​b2​+⋯+an​bn​

几何形式：与夹角的关系

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\| \times \|\vec{b}\| \times \cos\theta$a⋅b=∥a∥×∥b∥×cosθ

• 夹角 $0°$0°（同方向）→ $\cos 0° = 1$cos0°=1 → 点积最大
• 夹角 $90°$90°（垂直）→ $\cos 90° = 0$cos90°=0 → 点积为零
• 夹角 $180°$180°（反向）→ $\cos 180° = -1$cos180°=−1 → 点积为负

动手试试#

拖动两个向量的端点，观察点积值和夹角如何实时变化。虚线是 a 在 b 上的投影——点积的几何意义就是"投影长度 × b 的长度"：

这在机器学习中用来做什么#

点积是衡量两个向量"有多像"的基础工具。在推荐系统中，用户和物品都被表示为向量，点积越大就代表越匹配。在更高级的模型中，点积被用来计算不同数据片段之间的关联程度。