勾股定理

直觉理解#

勾股定理说的是：在一个直角三角形里，两条短边各自"变成正方形"后的面积加起来，恰好等于长边"变成正方形"的面积。

这是人类最早发现的数学定理之一，也是连接代数和几何的第一座桥。

定理#

在直角三角形中，设两条直角边为 $a$a、$b$b，斜边为 $c$c：

$a^2 + b^2 = c^2$a2+b2=c2

三角函数中的形式#

在单位圆上，勾股定理变成了三角恒等式：

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$sin2θ+cos2θ=1

这被称为勾股恒等式（Pythagorean Identity），是三角函数最基本的等式。

由此可以推导：

• $\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta$tan2θ+1=sec2θ
• $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$1+cot2θ=csc2θ

距离公式#

勾股定理是欧几里得距离公式的基础。平面上两点 $(x_1, y_1)$(x1​,y1​) 和 $(x_2, y_2)$(x2​,y2​) 之间的距离：

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$d=(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2​

推广到 $n$n 维空间：

$d = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - y_i)^2}$d=i=1∑n​(xi​−yi​)2​

这个距离公式在机器学习中无处不在——K近邻算法、聚类、损失函数都依赖它。