弧度

直觉理解#

角度有两种"刻度"：度数和弧度。度数是人为规定的（把圆分成 360 份），而弧度是圆自己"说"的——弧长等于半径时，对应的角就是 1 弧度。

定义#

弧度是弧长与半径的比值：

$\theta = \frac{s}{r}$θ=rs​

一个完整的圆，弧长 = 周长 = $2\pi r$2πr，所以：

$\text{一整圈} = \frac{2\pi r}{r} = 2\pi \text{ 弧度}$一整圈=r2πr​=2π 弧度

常用换算#

换算公式：$\text{弧度} = \text{度数} \times \frac{\pi}{180}$弧度=度数×180π​

为什么用弧度而不用度数#

• 公式更简洁：用弧度时，$\sin'(x) = \cos(x)$sin′(x)=cos(x)；用度数时还要乘一个系数
• 编程标准：几乎所有编程语言的 Math.sin() 都接受弧度
• 自然单位：弧度直接来自圆的几何性质，没有人为因素