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求和符号 Σ

数学中表示"把一系列数加起来"的缩写符号，等价于编程中的 for 循环累加。Σ 本身不是运算，只是把写 N 次加法压缩成一行的速记法。

核心公式

📖 符号说明

符号含义说明取值范围
循环变量（下标）从起始值递增到终止值整数
求和上界循环终止值正整数
第 i 项每次循环要累加的表达式任意实数

一句话理解

Σ 就是一个 for 循环——从某个起点加到某个终点，把所有结果累加起来。

公式

∑i=1Nxi=x1+x2+⋯+xN\sum_{i=1}^{N} x_i = x_1 + x_2 + \cdots + x_Ni=1∑N​xi​=x1​+x2​+⋯+xN​

各部分含义

位置写法含义
下方i=1i=1i=1循环变量从 1 开始
上方NNN循环到 N 结束
右侧xix_ixi​每次循环要加的东西

用代码表达就是：

python
total = 0
for i in range(1, N+1):
    total += x[i]

常见变体

求平均值：

xˉ=1N∑i=1Nxi\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_ixˉ=N1​i=1∑N​xi​

Softmax 分母（对所有类别求和）：

∑j=1Kezj\sum_{j=1}^{K} e^{z_j}j=1∑K​ezj​

交叉熵损失（对所有样本求和）：

L=−1N∑i=1Nln⁡p(yi)L = -\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} \ln p(y_i)L=−N1​i=1∑N​lnp(yi​)

读法技巧

TIP

三步读法 遇到 Σ 不要慌，按三步拆：

  1. 看下面——谁在变？从几开始？
  2. 看上面——变到几结束？
  3. 看右边——每一步加什么？

把具体数字代入展开 2-3 项，模式就清楚了。

与 Π 的关系

Σ 是累加，Π 是累乘。两者通过对数相连：

log⁡∏i=1Nxi=∑i=1Nlog⁡xi\log \prod_{i=1}^{N} x_i = \sum_{i=1}^{N} \log x_ilogi=1∏N​xi​=i=1∑N​logxi​

连乘取对数后变成求和——这就是为什么 AI 中常用"对数似然"替代"似然"。

引用本概念的文章