三角函数

直觉理解#

想象一个人沿着圆形跑道跑步——他的东西方向位置随时间变化，画出来就是一条波浪线。这就是三角函数的本质：把"转圈"变成"波动"。

三角函数是连接角度和比值的桥梁。给定一个角，三角函数告诉你对应的边长比例。

三大基本函数#

在直角三角形中，三角函数定义为边的比值：

$\sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}, \quad \tan\theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$sinθ=斜边对边​,cosθ=斜边邻边​,tanθ=邻边对边​=cosθsinθ​

核心性质#

• 周期性：$\sin$sin 和 $\cos$cos 的周期为 $2\pi$2π，$\tan$tan 的周期为 $\pi$π
• 值域：$\sin\theta, \cos\theta \in [-1, 1]$sinθ,cosθ∈[−1,1]，$\tan\theta \in (-\infty, +\infty)$tanθ∈(−∞,+∞)
• 互余关系：$\sin\theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$sinθ=cos(2π​−θ)

为什么重要#

三角函数是描述周期性现象的数学语言。在 AI 领域，它出现在：

• Transformer 位置编码：用 $\sin$sin 和 $\cos$cos 编码 token 的位置信息
• 信号处理：傅里叶变换将任意信号分解为三角函数之和
• 学习率调度：Cosine Annealing 用余弦曲线控制学习率衰减