复合函数（Composite Function）

直觉理解#

想象一条两步流水线：

• 第一步：把苹果削皮 → 得到削好的苹果
• 第二步：把削好的苹果切片 → 得到苹果片

"切片(削皮(苹果))" 就是一个复合函数——前一步的输出，直接变成后一步的输入。

数学上也一样。假如 $g(x) = x^2$g(x)=x2（平方），$f(u) = -u$f(u)=−u（取负），那么：

$f(g(3)) = f(9) = -9$f(g(3))=f(9)=−9

先平方、再取负——两步串在一起，就是复合。

数学定义#

给定两个函数 $f$f 和 $g$g，它们的复合函数记作 $f \circ g$f∘g：

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$(f∘g)(x)=f(g(x))

执行顺序：先算内层 $g(x)$g(x)，再算外层 $f$f。注意 $f \circ g$f∘g 和 $g \circ f$g∘f 通常不同——就像"先削皮再切片"和"先切片再削皮"结果不一样。

怎么拆层#

遇到复杂的表达式，从最外层开始往里剥：

这为后续学习打什么基础#

复合函数是学习链式法则的必要前提。当需要对"函数套函数"求导时，就要逐层拆开、分别求导、再乘起来——这个方法在后续数学学习中会反复出现。