偏导数（Partial Derivative）

直觉理解#

偏导数就是"控制变量实验"——一次只调一个旋钮，看结果怎么变。

想象你调空调：遥控器上有"温度"和"风速"两个按钮。你想知道"温度调高一度，耗电量增加多少"——这时你会固定风速不动，只改温度。这个"固定其他、只动一个"得到的变化率，就是偏导数。

数学定义#

对于二元函数 $f(x, y)$f(x,y)，$f$f 对 $x$x 的偏导数定义为：

$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x,\, y) - f(x,\, y)}{\Delta x}$∂x∂f​=Δx→0lim​Δxf(x+Δx,y)−f(x,y)​

跟单变量导数的定义一模一样——只是 $y$y 被当作常数，不参与变化。

计算方法#

把其他变量当常数，然后用普通导数的全套工具（幂函数规则、链式法则……）正常求导。

示例：$f(x, y) = x^2 y + 3y$f(x,y)=x2y+3y

• $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$∂x∂f​=2xy（$y$y 视为常数）
• $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3$∂y∂f​=x2+3（$x$x 视为常数）

几何含义#

对于二元函数 $f(x, y)$f(x,y) 画出的曲面（想象一片起伏的地形），偏导数就是沿某个方向切一刀，看那个截面上的坡度：

• $\frac{\partial f}{\partial x}$∂x∂f​：沿东西方向的坡度
• $\frac{\partial f}{\partial y}$∂y∂f​：沿南北方向的坡度

这为后续学习打什么基础#

当函数有多个变量时，每个变量各有一个偏导数。把所有偏导数打包在一起，就得到一个描述"各方向坡度"的整体工具——这就是后续会学到的"梯度"概念。