周期函数

直觉理解#

周期函数就是"重复播放"的函数——不管你往右看多远，图像总会回到之前见过的样子。就像四季循环、日出日落，周期函数描述的就是这种规律性的重复。

定义#

如果存在一个正数 $T$T，使得对所有 $x$x 都有：

$f(x + T) = f(x)$f(x+T)=f(x)

则称 $f$f 为周期函数，满足条件的最小正数 $T$T 叫做最小正周期（简称周期）。

典型例子#

规律：$\sin(\omega x)$sin(ωx) 的周期为 $\frac{2\pi}{\omega}$ω2π​，频率越高周期越短。

为什么重要#

周期性是理解以下概念的基础：

• 傅里叶变换：任何信号都可以分解为不同频率的周期函数之和
• Transformer 位置编码：用不同周期的 sin/cos 组合来编码位置
• 学习率调度：Cosine Annealing 利用余弦的周期性实现学习率的周期重启