转置（Transpose）

把矩阵的行和列对调——原来第 $i$ 行第 $j$ 列的元素，变成第 $j$ 行第 $i$ 列。$m \times n$ 矩阵转置后变成 $n \times m$。记号是右上角加一个 T：$A^T$。

核心公式

📖 符号说明

前置知识

直觉理解

同一张成绩表，换个角度看：原来行是学生、列是科目，转置后行变成科目、列变成学生。数据没变，只是"谁在行、谁在列"换了。

A = \begin{pmatrix} 85 & 72 \\ 78 & 85 \\ 92 & 68 \end{pmatrix} \quad \xrightarrow{\text{转置}} \quad A^T = \begin{pmatrix} 85 & 78 & 92 \\ 72 & 85 & 68 \end{pmatrix}

$3 \times 2$ 变成了 $2 \times 3$ ——行数和列数互换。

有些运算要求"行对列"才能配对（比如矩阵乘法要求左边的列数等于右边的行数）。如果数据的朝向不对，转置一下就能对齐——就像把成绩表从"按学生查"切换成"按科目查"。

矩阵乘法中经常需要调整数据的朝向。比如计算"所有数据两两之间的相似度"时，就需要把同一个矩阵转置后跟自己相乘。