单位圆

直觉理解#

单位圆就是一个半径为 1 的圆，圆心放在坐标原点。它是三角函数最好的"翻译器"——把角度翻译成坐标。

在直角三角形里，三角函数只能处理 0° 到 90° 的角。但有了单位圆，角度可以转到任意大小，甚至可以是负数。

定义#

以原点为圆心、1 为半径的圆，方程为：

$x^2 + y^2 = 1$x2+y2=1

圆上任意一点 $(x, y)$(x,y) 对应角度 $\theta$θ 时：

$x = \cos\theta, \quad y = \sin\theta$x=cosθ,y=sinθ

关键洞察#

• 角度从正 x 轴开始，逆时针为正，顺时针为负
• 绕一圈是 $2\pi$2π 弧度（360°），所以 $\sin$sin 和 $\cos$cos 每 $2\pi$2π 重复一次
• 勾股定理在单位圆上变成：$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$sin2θ+cos2θ=1

为什么重要#

单位圆把三角函数从"三角形的边长比"升级为"圆上的坐标投影"，是理解三角函数周期性和连续性的基础。