链式法则（Chain Rule）

链式法则#

复合函数 $h(x) = f(g(x))$h(x)=f(g(x)) 的导数：

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$dxd​f(g(x))=f′(g(x))⋅g′(x)

口诀：外层导数 × 内层导数

示例#

$h(x) = \sin(x^2)$h(x)=sin(x2)：

• 外层：$f(u) = \sin(u)$f(u)=sin(u)，导数 $\cos(u)$cos(u)
• 内层：$g(x) = x^2$g(x)=x2，导数 $2x$2x

$h'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x$h′(x)=cos(x2)⋅2x

多层链式#

三层嵌套 $f(g(h(x)))$f(g(h(x)))：

$\frac{d}{dx}f(g(h(x))) = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$dxd​f(g(h(x)))=f′(g(h(x)))⋅g′(h(x))⋅h′(x)

不管套了几层，方法不变：从外往里，逐层求导，结果全部乘起来。

这为后续学习打什么基础#

链式法则是微积分最强大的工具之一。后续学习中，很多看似复杂的求导问题——多层嵌套、多个变量——归根到底都是在用链式法则逐层拆解。