线性变换（Linear Transformation）#

直觉理解#

照片编辑器里的旋转、缩放、翻转，本质上都是同一件事：给每个像素坐标乘一个矩阵，得到新坐标。矩阵就是一台"向量加工机"——吃进一个向量，吐出一个新向量。这种用矩阵把向量映射到新向量的操作，就叫线性变换。

两个条件#

不是所有变换都是线性变换。要同时满足两个条件：

条件一：直线变完还是直线。 画一条直线，做完变换后还是直线。旋转、缩放、翻转都满足。反例：鱼眼效果让直线变成弧线——不满足。

条件二：原点不动。 变换前后，坐标原点 $(0,0)$(0,0) 必须还在 $(0,0)$(0,0)。反例：平移把整张图往右挪，直线虽然没变弯，但原点跑了——不满足。

两个条件缺一不可。只有两个都满足的变换，才能用一个矩阵来表示。

常见的线性变换#

• 缩放：对角线放倍数的矩阵，如 $\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$(20​02​) 把所有坐标放大 2 倍
• 旋转：逆时针旋转 90° 对应 $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$(01​−10​)
• 翻转：水平翻转对应 $\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}$(−10​01​)

变换的组合#

先旋转再缩放，等价于把两个矩阵先乘起来再乘向量。变换的组合就是矩阵乘法——而且顺序不同结果不同，跟矩阵乘法不满足交换律一致。

更重要的是：多个线性变换组合起来，结果仍然是线性变换（因为矩阵连乘还是一个矩阵）。

这在机器学习中用来做什么#

神经网络每一层做的核心操作就是线性变换——用权重矩阵乘以输入向量。但纯线性的网络不管叠多少层，能表达的变换种类不会增加（矩阵连乘还是一个矩阵），所以每层之后必须加一个非线性操作（激活函数），才能让网络学到复杂的模式。