矩阵乘法（Matrix Multiplication）#

直觉理解#

想象食堂午餐场景：

这是一个 2×3 的"点菜矩阵" A——2 个人，3 种菜。

这是一个 3×2 的"营养矩阵" B——3 种菜，2 种营养素。

现在你想知道每个人摄入了多少热量和蛋白质。怎么算？

• 小明的热量 = 2×200 + 1×280 + 1×30 = 710 千卡
• 小明的蛋白质 = 2×4 + 1×25 + 1×2 = 35 克
• 小红的热量 = 1×200 + 0×280 + 2×30 = 260 千卡
• 小红的蛋白质 = 1×4 + 0×25 + 2×2 = 8 克

每一行的计算过程，其实就是一次点积。把所有人、所有营养素一起算，就得到结果矩阵 C（2×2）：

这就是矩阵乘法——A 的每一行与 B 的每一列做点积，结果填入对应位置。

公式定义#

矩阵 $A$A（$m \times n$m×n）乘以矩阵 $B$B（$n \times p$n×p），得到矩阵 $C$C（$m \times p$m×p）：

$C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} \cdot B_{kj}$Cij​=k=1∑n​Aik​⋅Bkj​

用一句话读这个公式：结果矩阵第 i 行第 j 列的数 = 左矩阵第 i 行 · 右矩阵第 j 列（做点积）。

维度匹配规则#

矩阵乘法有一个必须满足的条件：A 的列数必须等于 B 的行数。

$A_{m \times \boxed{n}} \cdot B_{\boxed{n} \times p} = C_{m \times p}$Am×n​​⋅Bn​×p​=Cm×p​

回到食堂的例子：点菜矩阵有 3 列（3 种菜），营养矩阵有 3 行（3 种菜的营养）——这个"3"必须对上，否则乘法没有意义。

一个好记的口诀：消内留外——中间的 n 在计算中被"消掉"了（求和），留下的外侧 m 和 p 决定结果的形状。

不满足交换律#

矩阵乘法一般不满足交换律：$A \times B \neq B \times A$A×B=B×A。

这和普通数字乘法不一样。原因很直观：$A \times B$A×B 是"A 的行配 B 的列"，反过来 $B \times A$B×A 是"B 的行配 A 的列"——配对的对象都变了，结果当然不同。甚至可能一个方向能乘，反过来维度就对不上，根本不能乘。

动手试试#

点击结果矩阵中的任意格子，观察它由左矩阵的哪一行和上矩阵的哪一列做点积得到。高亮的行和列就是参与计算的向量。

与点积的关系#

矩阵乘法 = 把点积从"一对一"扩展到"多对多"。理解了点积，矩阵乘法只是规模的放大。

这在机器学习中用来做什么#

机器学习的核心运算几乎都是矩阵乘法：一批数据同时通过一层网络、一组向量同时计算两两相似度……矩阵乘法让这些本质是"重复做点积"的操作可以一步完成，也是 GPU 能大幅加速深度学习的根本原因。